जब हमें दो परिमेय संख्याओं के बीच कुछ और परिमेय संख्याएँ निकालनी होती हैं, तो हम सरल गणितीय तकनीकों का उपयोग करके ऐसे भिन्न ढूँढ सकते हैं, Rational Numbers
Find 5 rational between rational numbers
परिमेय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं, जिन्हें ( \frac{p}{q} ) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ ( p ) और ( q ) पूर्णांक होते हैं और ( q ) शून्य के बराबर नहीं होता। ये संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के बीच कहीं भी आ सकती हैं, चाहे वे धनात्मक हों या ऋणात्मक।
जब हमें दो परिमेय संख्याओं के बीच कुछ और परिमेय संख्याएँ निकालनी होती हैं, तो हम सरल गणितीय तकनीकों का उपयोग करके ऐसे भिन्न (fractions) ढूँढ सकते हैं, जो उन दो संख्याओं के बीच हों। इस प्रक्रिया में हम संख्याओं के हर (denominators) को समान करके आसानी से उनके बीच के भिन्न निकाल सकते हैं।
अब हम इस प्रक्रिया को उदाहरणों के साथ समझेंगे।
प्रक्रिया: परिमेय संख्याओं (Rational Numbers ) के बीच परिमेय संख्याएँ निकालना
चरण 1: दी गई परिमेय संख्याओं को समझना
आपको पहले दी गई परिमेय संख्याओं की पहचान करनी होती है, जिनके बीच हमें और परिमेय संख्याएँ निकालनी हैं। उदाहरण के लिए, मान लें कि हमें ( \frac{1}{3} ) और ( \frac{1}{2} ) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ निकालनी हैं।
चरण 2: भिन्नों को समान हर में लाना
दो भिन्नों के बीच अधिक भिन्न निकालने के लिए, सबसे पहले हमें उन दोनों भिन्नों को समान हर (denominator) में बदलना पड़ता है। इससे हमें उनके बीच का अंतर समझने में आसानी होती है।
उदाहरण के लिए, ( \frac{1}{3} ) और ( \frac{1}{2} ) को समान हर में बदलते हैं:
- ( \frac{1}{3} ) और ( \frac{1}{2} ) का लघुत्तम समापवर्तक (LCM) ( 6 ) है।
- ( \frac{1}{3} = \frac{2}{6} )
- ( \frac{1}{2} = \frac{3}{6} )
अब, ( \frac{2}{6} ) और ( \frac{3}{6} ) के बीच की परिमेय संख्याएँ निकालना सरल है।
चरण 3: मध्य की परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers ) निकालना
चूँकि ( \frac{2}{6} ) और ( \frac{3}{6} ) के बीच कोई अन्य भिन्न नहीं है, इसलिए हमें हर को बड़ा करना होगा ताकि और भिन्न निकल सकें। इसके लिए, हम दोनों भिन्नों के अंश और हर को किसी बड़ी संख्या से गुणा कर सकते हैं।
मान लें कि हम ( \frac{2}{6} ) और ( \frac{3}{6} ) के अंश और हर को ( 10 ) से गुणा करते हैं:
- ( \frac{2}{6} = \frac{20}{60} )
- ( \frac{3}{6} = \frac{30}{60} )
अब ( \frac{20}{60} ) और ( \frac{30}{60} ) के बीच कई परिमेय संख्याएँ आ सकती हैं, जैसे:
- ( \frac{21}{60}, \frac{22}{60}, \frac{23}{60}, \frac{24}{60}, \frac{25}{60}, \ldots, \frac{29}{60} )
इनमें से आप कोई भी पाँच परिमेय संख्याएँ ले सकते हैं, जैसे:
- ( \frac{21}{60}, \frac{22}{60}, \frac{23}{60}, \frac{24}{60}, \frac{25}{60} )
चरण 4: इन परिमेय संख्याओं (Rational Numbers ) को सरल रूप में लिखना
इन भिन्नों को सरल रूप में लिखने के लिए, यदि संभव हो, तो उन्हें उनके महत्तम समापवर्तक (GCD) से विभाजित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:
- ( \frac{21}{60} = \frac{7}{20} )
- ( \frac{22}{60} = \frac{11}{30} )
- ( \frac{23}{60} ) को और सरल नहीं किया जा सकता।
- ( \frac{24}{60} = \frac{2}{5} )
- ( \frac{25}{60} = \frac{5}{12} )
इस प्रकार, ( \frac{1}{3} ) और ( \frac{1}{2} ) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:
- ( \frac{7}{20}, \frac{11}{30}, \frac{23}{60}, \frac{2}{5}, \frac{5}{12} )
उदाहरण 2: ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-1}{2} ) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ निकालना
अब हम एक और उदाहरण लेते हैं जहाँ हमें ऋणात्मक परिमेय संख्याओं के बीच पाँच और परिमेय संख्याएँ निकालनी हैं। मान लीजिए हमें ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-1}{2} ) के बीच परिमेय संख्याएँ निकालनी हैं।
चरण 1: दी गई परिमेय संख्याओं (Rational Numbers ) को समान हर में लाना
पहले हमें ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-1}{2} ) को समान हर में लाना है:
- ( \frac{-3}{4} ) को समान हर में लाने के लिए कोई बदलाव नहीं करना पड़ेगा।
- ( \frac{-1}{2} ) को ( \frac{-2}{4} ) के रूप में लिखा जा सकता है।
अब हमारे पास ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-2}{4} ) हैं। इनके बीच कोई अन्य भिन्न नहीं है, इसलिए हमें अंश और हर को किसी बड़ी संख्या से गुणा करना होगा।
चरण 2: अंश और हर को बड़ा करना
अब ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-2}{4} ) के अंश और हर को ( 10 ) से गुणा करते हैं:
- ( \frac{-3}{4} = \frac{-30}{40} )
- ( \frac{-2}{4} = \frac{-20}{40} )
चरण 3: मध्य की परिमेय संख्याएँ (Rational Numbers ) निकालना
अब ( \frac{-30}{40} ) और ( \frac{-20}{40} ) के बीच आने वाली पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:
- ( \frac{-29}{40}, \frac{-28}{40}, \frac{-27}{40}, \frac{-26}{40}, \frac{-25}{40} )
चरण 4: भिन्नों को सरल रूप में लिखना
इन भिन्नों को यदि संभव हो, तो सरल किया जा सकता है:
- ( \frac{-29}{40} ) को और सरल नहीं किया जा सकता।
- ( \frac{-28}{40} = \frac{-7}{10} )
- ( \frac{-27}{40} ) को और सरल नहीं किया जा सकता।
- ( \frac{-26}{40} = \frac{-13}{20} )
- ( \frac{-25}{40} = \frac{-5}{8} )
इस प्रकार, ( \frac{-3}{4} ) और ( \frac{-1}{2} ) के बीच पाँच परिमेय संख्याएँ हैं:
- ( \frac{-29}{40}, \frac{-7}{10}, \frac{-27}{40}, \frac{-13}{20}, \frac{-5}{8} )
प्रक्रिया की व्यापकता और उपयोगिता
1. धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं के बीच का अंतर:
यह प्रक्रिया न केवल धनात्मक परिमेय संख्याओं के बीच परिमेय संख्याएँ निकालने में मदद करती है, बल्कि ऋणात्मक संख्याओं के बीच भी यही प्रक्रिया लागू होती है। इससे छात्रों को संख्याओं के बीच के अंतराल को समझने में मदद मिलती है।
2. समान हर का महत्व:
समान हर में परिमेय संख्याओं को लाने से उनके बीच की संख्याओं का निर्धारण करना बहुत सरल हो जाता है। इससे गणना में त्रुटि की संभावना कम होती है।
3. अनुप्रयोग:
यह प्रक्रिया उन समस्याओं के समाधान में मदद करती है, जहाँ किसी दिए गए अंतराल में अधिक परिमेय संख्याएँ निकालने की आवश्यकता होती है, जैसे विभाजन के प्रश्न या ग्राफ में परिमेय संख्याएँ चिह्नित करना।
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